力学（振動） 6/11

一．単振動　　　１．水平方向のバネ振り子（ フックの法則　Ｆ ＝ −ｋｘ ）

運動エネルギー	Ｔ ＝ １ ― ２ ｍ （ｘ’） 2
位置エネルギー Ｕ ＝ − ∫ Ｆｄｘ ＝ − ∫ （−ｋｘ）ｄｘ ＝ １ ― ２ ｋ ｘ 2
ラグラクジアン
Ｌ ＝ Ｔ − Ｕ ＝ １ ― ２ ｍ 2 − １ ― ２ ｋ ｘ 2	Ｌ ＝ Ｔ − Ｕ ＝ １ ― ２ ｍ （ｘ’） 2 − １ ― ２ ｋ ｘ 2
ラグランジュ方程式
ｄ ―― ｄｔ ∂ Ｌ ――― ∂ − ∂Ｌ ―― ∂ｘ ＝ ０	ｄ ―― ｄｔ ∂Ｌ（ｘ ，ｘ’） ――――― ∂ｘ’ − ∂Ｌ（ｘ ，ｘ’） ――――― ∂ｘ ＝ ０
∂Ｌ ――― ∂ ＝ ∂ ―― ∂ （ １ ― ２ ｍ 2 − １ ― ２ ｋ ｘ 2 ） ＝ １ ― ２ ｍ ・ ２ ＝ ｍ 微分する 定数は消える
∂Ｌ ――― ∂ｘ ＝ ∂ ―― ∂ｘ （ １ ― ２ ｍ 2 − １ ― ２ ｋ ｘ 2 ） ＝ − １ ― ２ ・ ２ ｋ ｘ ＝ − ｋ ｘ 定数は消える 微分する
ｄ ―― ｄｔ （ ｍ ） ＋ ｋ ｘ ＝ ０	ｄ ― ｄｔ 〔ｍ（ｘ’）〕 ＋ ｋ ｘ ＝ ０
ｍ ＝ − ｋ ｘ	ｍ ｄ 2 ｘ ―― ｄ ｔ 2 ＝ − ｋ ｘ

２．鉛直方向のバネ振り子

運動方程式	ｍ ｄ 2 ｘ ―― ｄ ｔ 2 ＝ − ｋ ｘ ＋ ｍ ｇ
	ｍ ｄ 2 ｘ ―― ｄ ｔ 2 ＝ − ｋ ｘ − ｍｇ ―― ｋ
元の方程式と同じ	ｍ ｄ 2 ｙ ―― ｄ ｔ 2 ＝ − ｋ ｙ	座標が ｍｇ/ｋ だけシフト

４．減衰運動

５．強制振動

二．振り子

１．単振り子

２．マクリーン展開　　　級数展開　　　

オイラーの公式