電磁気学（電荷 → 電場）

真空中の点電荷

１．クーロンの法則と電場

　近接作用　⇒　電場という、そこに電荷が存在することの物理的影響が空間を伝わっていく

　　　　　　　　　　この場所そのものが、電荷を置いたら、こんな力を持っている

２．点電荷がつくるポテンシャル場

　点電荷の間に働く力は、距離の２乗に反比例し、電荷の積に比例する。

電場は、距離の自乗に反比例して減少し、同じ立体角に含まれる面積は、距離の自乗に比例して増大する。

点電荷　→　分布電荷

１．電荷密度

線積分

ａ．有限の長さの線上に広がった電荷による電場

ｂ．円状の電荷による電場　　　ｃ．球殻状の電荷による電場

２．電荷　→　電気力線

　電気力線の向きは、その場所の電場の向きに一致する。 　電気力線の密度は、その場所の電場の大きさに比例する。

　電気力線は、誘電体を通りにくい　　←→　　電束線は、誘電体をそのまま通る

等方性の誘電体のみを考えるとき、電気力線と電束線は平行で、電場と電束密度の比はεで与えられる

３．電束　→　電束密度

　電束とは、電気力線を電荷を単位にして数える方法

　空間の種類によらず、常に電気力線と同じものが空間で変化しないことになる。

　←　空間によって、電気力線の本数が変わるというのは、少し違和感があるから。

４．点電荷　→　球状電荷　　　　　対称性の議論

　点電荷を囲む球面を通って出て行く電気力線の本数は、点電荷のもつ電気量に等しい

　電束の本数は、増えも減りもしない

ガウスの法則　　Gauss' law

１．電気力線の流量の保存

ある電荷があれば、それを囲むどんな面でも、その面を貫く電束は内部にある電荷量と一致する

閉曲面でベクトル場を面積分したもの
＝	その閉面内部でベクトル場の発散を体積分したもの

ガウスの発散定理

∫ １ ∫ Ｅ・ｎｄＳ ＝ ―― ∇・ＥｄＶ S ε0 V

∫	→	→		∫	→
	Ａ・ｄＳ		＝		ｄｉｖ ＡｄＶ
	ΔＶ				Ｖ

Ｓの表面を貫く本数　＝　Ｓ内から出る本数

２．電場の発散

　電荷密度は、電束密度ベクトルを発散している

電束密度ベクトル場の発散は、電荷密度に等しい

→ ｄｉｖ Ｄ

＝

∂Ｄ ｘ ――― ∂ｘ

＋

∂Ｄ ｙ ――― ∂ｙ

＋

∂Ｄ ｚ ――― ∂ｚ

＝

ρ

	微小な体積を囲む微小な面積　＝　微小な体積
微分形	∇・Ｅ ＝ ρ ―― ε0 （ ｄｉｖ Ｅ ＝ ρ ―― ε0 ）
意　味	湧き出す電気力線総数は 内部電荷総数 ―――――― ε0 に等しい 電荷が存在するとき、電界はそこから発散する
	電荷があれば、そこから電場が発散する

ａ．一様に帯電した無限に長い棒

ｂ．一様に帯電した球

ｃ．平行平板コンデンサ

３．極座標でのｄｉｖ

４．ガウスの法則�A

発散は、あり得るが、回転は、存在しない