電磁気学（電位 → ポテンシャル）

位置エネルギーと電位

　　 電　荷　　（電子の集合体）
クーロンの法則 電　場　 架空の谷
Ｆ ＝ ｋ Ｑ ｑ Ｑｑ
――― ＝ ――――
ｒ 2 ４πε0ｒ 2
　　
Ｅ ＝ Ｆ ＝ ｋ Ｑ Ｖ
―― ―― ＝ ――
ｑ ｒ 2 ｒ
坂の勾配

（ベクトル場）
静電エネルギー 電　位　　（静電ポテンシャル）
Ｕ ＝ Ｆ ・ ｒ ＝ ｋ Ｑ ｑ
―――
ｒ
Ｖ ＝ Ｕ
――
ｑ		 ＝ ｋ Ｑ
―
ｒ		 ＝ Ｅ ｒ
高低差

（スカラー場）

位置エネルギーは、 力を位置座標で積分していったもの
微分すると力になるもの
電場は単位体積あたり １
―
２		 ε0 Ｅ
2		 エネルギーを持つ


１．分布電荷がつくるポテンシャル場


　電荷密度ｑの電荷の分布から発生する電場は、ｑを用いて積分で表される


　　→　電位の分布がわかれば、その空間の電荷密度を計算することができる（ポアッソンの方程式）　ラプラス方程式


　電場の回転は０で、従ってポテンシャルψ（電位）が存在する。　ポテンシャルψは、ポアッソンの方程式をみたす。












２．電　位

電　場
Ｅ ＝ ｑ
――――
４πε0ｒ

2		 ＝ − ｄＶ
―――
ｄｒ
Ｅ＝−ｇｒａｄ Ｖ
電　位
Ｖ ＝ ｑ
――――
４πε0ｒ
ｄＶ
―――
ｄｒ		 ＝ − ｑ
――――
４πε0ｒ

2
ｄＶ
―――
ｄｘ		 ＝ − Ｅ （一定）
Ｖ ＝ − Ｅｘ ＋ Ｃ
電位 電場
Ｖ ＝ − ∫ ａ


∞		 Ｅｄｒ
→　電位を微分　→

←　電場を積分　←
Ｅ ＝ − ｄＶ
―――
ｄｒ
電位　⇒ 試験電荷がもつ静電エルネギー
単位電荷あたりの位置エネルギー
Ｖ ＝ Ｕ
――
ｑ		 ＝ ｋ Ｑ
――
ｒ
∇φ（ｒ） 勾配　　ｇｒａｄφ（ｒ）

ｇｒａｄ φ
＝		 →
∇φ
＝		 →
ｅ ｘ
∂φ
―――
∂ｘ
＋		 →
ｅ y
∂φ
―――
∂ｙ
＋		 →
ｅ z
∂φ
―――
∂ｚ

　１Ｃの電荷を運ぶために外力が１Ｊの仕事をするような静電ポテンシャルの差を１Ｖと定義する






２．コンデンサーの静電エネルギー

位置エネルギー
Ｖ ＝ Ｅ ・ ｄ
電場
Ｅ ＝ ４πｋＱ
――
Ｓ		 ＝ Ｖ
――
ｄ
蓄えられる電気量
Ｑ ＝ １
―――
４πｋ		 Ｓ
――
ｄ		 ・ Ｖ ＝ ＣＶ
Ｑ ＝ ＣＶ
静電容量
Ｃ ＝ １
―――
４πｋ		 ・ Ｓ
――
ｄ		 ＝ ε0 Ｓ
――
ｄ
Ｃ ＝ ε0 Ｓ
――
ｄ
真空誘電率
ε0 ＝ １
―――
４πｋ
静電エネルギー
Ｕ ＝ １
――
２		 ＱＶ ＝ １
――
２		 ＣＶ 2
Ｕ ＝ １
―
２		 Ｃ Ｖ 2
静電場 電位差 誘電体 定常電流 静磁場 磁性体 電磁誘導 変位電流 電磁波