力学（惑星の運動）　@

六．ケプラーの法則と万有引力の法則

１．ケプラーの法則

第１法則 惑星は太陽を１つの焦点とする楕円軌道を描く
第２法則 惑星が太陽の周りに描く面積速度は、１つの惑星に対して時間的に一定である
第３法則 任意の惑星の周期の２乗は、楕円軌道の長半径の３乗に比例する

２．万有引力の法則

　物体は互いに引き合い、その力の大きさは、２物体の質量の積に比例し、物体間の距離の２乗に反比例する

３．面積速度と角運動量

角運動量 Ｌ ＝ ｒ × ｐ ＝ ｒ × ｍｖ ＝ ｍ ・ ｒ × ｖ
１つの質点Ｐの原点Ｏについての角運動量Ｌ この質点の運動量ｐ＝ｍｖのＯ点についてのモーメント
ラグランジアン
Ｌ ＝ Ｔ − Ｕ ＝ １
―
２		 ｍ ｛ （ｒ’） 2

 ＋ ｒ 2

 （θ’） 2

 ｝ ＋ Ｇ
ｍ Ｍ
――
ｒ
∂Ｌ
――
∂ｒ’		 ＝ ｍ ｒ’
∂Ｌ
――
∂ｒ		 ＝ ｍ ｒ （θ’） 2

 − Ｇ
ｍ Ｍ
――
ｒ 2
方程式
ｄ
――
ｄｔ		 ∂Ｌ
――
∂ｒ’		 − ∂Ｌ
――
∂ｒ		 ＝ ０
ｍ
ｄ ｒ’
――
ｄ ｔ
＝ ｍ ｒ （θ’） 2

 − Ｇ
ｍ Ｍ
――
ｒ 2
ｒ方向の運動方程式
ｍ
ｄ 2

 ｒ
――
ｄ ｔ 2
＝ ｍ ｒ （θ’） 2

 − Ｇ
ｍ Ｍ
――
ｒ 2
∂Ｌ
――
∂θ’		 ＝ ｍ ｒ 2
 θ’
∂Ｌ
――
∂θ		 ＝ ０
ｄ
――
ｄｔ		 ∂Ｌ
――
∂θ’		 − ∂Ｌ
――
∂θ		 ＝ ０
θ方向の運動方程式
ｍ ｒ 2
ｄ 2

 θ
―――
ｄ ｔ 2
＝ ０
ｒ 2
ｄ 2

 θ
―――
ｄ ｔ 2
＝ ０
ｒ 2
ｄ θ
―――
ｄ ｔ
＝ ｒ 2

 ω ＝ ｃｏｎｓｔ．
ハミルトニアン
Ｈ ＝ Ｔ ＋ Ｕ ＝ １
――
２ｍ		 （ ｐｒ 2

 ＋
１
――
ｒ 2
ｐθ 2

 ） − Ｇ
ｍ Ｍ
――
ｒ
ｒ方向
ｄ ｒ
――
ｄ ｔ
＝ ∂Ｈ
―――
∂ｐｒ
ｄ ｐｒ
――
ｄ ｔ
＝ − ∂Ｈ
――
∂ｒ
ｄ ｒ
――
ｄ ｔ
＝ ∂Ｈ
―――
∂ｐｒ		 ＝ ｐｒ
――
ｍ
ｄ ｐｒ
――
ｄ ｔ
＝ − ∂Ｈ
――
∂ｒ		 ＝
ｐθ 2
――
ｍ ｒ 3
−
Ｇ Ｍ ｍ
――
ｒ 2
ｍ
ｄ 2

 ｒ
――
ｄ ｔ 2
＝
ｐθ 2
――
ｍ ｒ 3
−
Ｇ Ｍ ｍ
――
ｒ 2
θ方向
ｄ θ
――
ｄ ｔ
＝ ∂Ｈ
―――
∂ｐθ
ｄ ｐθ
――
ｄ ｔ
＝ − ∂Ｈ
――
∂θ
ｄ θ
――
ｄ ｔ
＝ ∂Ｈ
―――
∂ｐθ		 ＝
ｐθ
――
ｍ ｒ
ｄ ｐθ
――
ｄ ｔ
＝ − ∂Ｈ
――
∂θ		 ＝ ０
ｄ θ
――
ｄ ｔ
＝ ω
ｐθ ＝ ｍ ｒ 2
 ω
ｍ
ｄ 2

 ｒ
――
ｄ ｔ 2
＝ ｍ ｒ ω 2

 −
Ｇ Ｍ ｍ
――
ｒ 2

講義

座標と速度 運動の法則 運動の具体例 エネルギー 角運動量 惑星の運動 質点の運動 剛体の運動 剛体の回転