力学（剛体の運動）

剛体の自由度　　６

固定点の運動方程式 回転の運動方程式
ｄＰ
――
ｄｔ		 ＝ ｆ
ｄＬ
――
ｄｔ		 ＝ Ｎ
外力の総和 トルクの総和

質点の直進運動 回転軸のある剛体の運動
Ｍ ｄ 2 ｘ ＝ ｆ
――
ｄ ｔ 2
Ｉ ｄ 2 θ ＝ Ｎ
――
ｄ ｔ 2

１．平行軸の定理

Ｉｘ ＝ Ｍ ｒＧ 2 ＋ ＩＧ

２．直交軸の定理

一．回転軸のある剛体の運動

慣性ﾓｰﾒﾝﾄ　Ｉ 回転させるときの、回転のしやすさ 手を広げた状態では回転しにくいが、縮めた状態では回転しやすい。
角運動量　Ｌ 回転させるときのエネルギーのようなもの 角運動量は保存されるので、手を縮めると、回転が速くなる
力のﾓｰﾒﾝﾄ　Ｎ 回すときの強さのようなもの 中心からの距離が遠いほど力が小さくなる。

ｐ ＝ ｍｖ 運動量の大きさ ＝ 慣性質量 × 速度の大きさ
Ｌ ＝ Ｉω 角運動量の大きさ ＝ 慣性モーメント × 角速度の大きさ

１．力のモーメント（トルク）

慣性モーメント
Ｉ ＝ Σ ｍ ｒ 2
ｖ＝ｒω
角運動量 Ｌ ＝ ｒ × ｐ ＝ ｒ ×ｍｖ ＝ ｒ ×ｍｒω ＝ Ｉ ω 運動量　　ｐ ＝ ｍｖ
回転運動の法則
（力のモーメント）
Ｎ ＝ ｄＬ
――
ｄｔ		 ＝ Ｉ ｄω
――
ｄｔ
←
Ｆ ＝ ｍ ｄｖ
――
ｄｔ


ｄ（ｍｖ）
―――
ｄｔ		 ＝ Ｆ
力　　ｍａ ＝ Ｆ
ｒ × ｄ（ｍｖ）
―――
ｄｔ		 ＝ ｒ × Ｆ
力のモーメント
角運動量
ｄ（ｒ×ｍｖ）
―――
ｄｔ		 ＝ ｒ × Ｆ
ｒ×ｍｖ＝ｒ×ｐ＝Ｌ
ｒ × Ｆ ＝ Ｎ
ｄＬ
――
ｄｔ		 ＝ Ｎ
力は運動量を変化させる
力のモーメントは角運動量を変化させる
角運動量の時間的変化の割合は力のモーメントに等しい
質点系の角運動量の時間的変化の割合は外力のモーメントに等しい
角運動量は重心運動によるものと重心の周りの運動によるものとの和として与えられる
角運動量に対する運動方程式は重心に関する式と重心の周りの角運動量に対する式に分けられる
ｍ ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ Ｆ
ｄＬ
――
ｄｔ		 ＝ Ｎ


並進運動 回転運動
等加速度運動 ｖ＝ｖ0＋ａｔ ω＝ω0＋βｔ 等角加速度運動
ｘ ＝ ｖ0 ｔ ＋ １
―
２		 ａ ｔ
2
θ ＝ ω0 ｔ ＋ １
―
２		 β ｔ
2
ｖ 2 − ｖ0 2 ＝ ２ａｘ
ω 2 − ω0 2 ＝ ２βθ
加速度
ａ ＝ ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ ｄ 2 ｘ
――
ｄ ｔ 2
β ＝ ｄω
――
ｄｔ		 ＝ ｄ 2 θ
――
ｄ ｔ 2
角加速度
運動方程式 ｍａ ＝ Ｆ Ｉβ ＝ Ｎ 回転運動方程式
運動量 ｐ ＝ ｍｖ Ｌ ＝ Ｉω 角運動量
運動エネルギー
Ｋ ＝ １
――
２		 ｍ ｖ
2
Ｋ ＝ １
――
２		 ｍ ω
2
回転運動エネルギー

２．定滑車（円盤）の回転

並進運動 ｍ1ａ ＝ Ｔ1 − ｍ1ｇ ｍ2 ＝ｍ2ｇ −Ｔ2
回転運動 Ｎ＝ＲＴ2−ＲＴ1＝Ｒ（Ｔ2−Ｔ1） Ｉβ＝Ｎ
Ｉβ＝Ｒ（Ｔ2−Ｔ1）
Ｉ ＝ １
――
２		 Ｍ Ｒ
2
ａ＝Ｒβ

３．慣性モーメントの具体例

長さａの棒
Ｉ ＝ １
――
１２		 Ｍ ａ
2
辺がａ，ｂである長方形
Ｉ ＝ １
――
１２		 Ｍ （ ａ
2		 ＋ ｂ
2		 ）
半径がＲの円板（円柱）
Ｉ ＝ １
――
２		 Ｍ Ｒ
2
半径がＲの球
Ｉ ＝ ２
――
５		 Ｍ Ｒ
2
半径がＲの球殻
Ｉ ＝ ２
――
３		 Ｍ Ｒ
2

☆　球の体積　　

∫ ｒ （ √ ｒ 2
 − ｘ 2
 ） 2

 ｄ ｘ ＝ ２ π ∫ ｒ （ ｒ 2
 − ｘ 2
 ） ｄ ｘ ＝ ２ π ［ ｒ 2
 ｘ − １
―
３		 ｘ 3
 ］ ｒ ＝ ４
―
３		 π ｒ 3
V ＝ π
−ｒ 0 0

４．重心を通らない軸のまわりの慣性モーメント

５．固定軸のまわりの剛体の運動エネルギー

L ＝ １
―
２		 ｍ
0		 V 2

 ＋ １
―
２
Σ
αβ		 Ｉ
αβ		 Ωα Ωβ − Ｕ （ ｛ ε
ｉ		 ｝ ）
Ｌ ＝ １
―
２		 ｍ （ ｘ’ 2

 ＋ ｙ’ 2

 ） ＋ １
―
２		 Ｉ ｚ φ’ 2
座標と速度 運動の法則 運動の具体例 エネルギー 角運動量 惑星の運動 質点の運動 剛体の運動 剛体の回転