力学（剛体の回転）　@

二．回転軸が移動する剛体の運動

１．斜面を転がる球

Ｍ ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ Ｍ ｇ sin θ −
Ｉ
―
ｒ
2		 ｄｖ
――
ｄｔ
斜面に平行な方向の
運動方程式
Ｍ ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ Ｍ ｇ sin θ − ｆ
Ｍ ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ Ｍ ｇ sin θ − ２
――
５		 Ｍ ｄｖ
――
ｄｔ
軸回りの角運動量の式
Ｉ ｄω
――
ｄｔ		 ＝ ｆ ｒ
２
――
５		 Ｍ ｒ
2		 １
―
ｒ		 ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ ｆ ｒ
２
――
５		 Ｍ ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ ｆ
ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ ｇ sin θ − ２
――
５		 ｄｖ
――
ｄｔ
すべらず転がり落ちるため
（スリップしない）
ｖ＝ｒω
ω ＝ ｖ
―
ｒ
ｆ ＝ ２
――
５		 Ｍ ５
――
７		 ｇ sin θ
７
――
５		 ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ ｇ sin θ
球の慣性モーメント
Ｉ ＝ ２
――
５		 Ｍ ｒ
2
ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ ５
――
７		 ｇ sin θ
円柱の慣性モーメント
ｄｖ Ｍｇsin θ
―― ＝ ―――――
ｄｔ
Ｍ ＋ Ｉ
―
ｒ
2
Ｉ ＝ １
――
２		 Ｍ Ｒ
2
中空の円筒
Ｉ ＝ Ｍ Ｒ
2

球の慣性モーメント
Ｉ ＝ ２
――
５		 Ｍ ｒ
2
ラグランジアン
Ｌ ＝ １
―
２		 Ｍ
2		 ＋ １
―
２		 Ｉ ω
2		 ＋ Ｍ ｇ ｘ sin θ
すべらず転がり落ちるため
（スリップしない）		 ｖ＝ｒω
＝ ｒ ω
Ｌ ＝ １
―
２		 Ｍ ＋
Ｉ
――
ｒ 2

2		 ＋ Ｍ ｇ ｘ sin θ
運動方程式
Ｍ ＋
Ｉ
――
ｒ 2
− Ｍ ｇ ｘ sin θ ＝ ０
Ｉ ＝ ２
――
５		 Ｍ ｒ
2
＝ ５
―
７		 ｇ ｘ sin θ


２．車輪の加速

運動方程式
Ｍ ｄｖ
――
ｄｔ		 ＝ Ｆ 静止摩擦力
回転の角速度の時間変化
Ｉ ｄω
――
ｄｔ		 ＝ ２ ｆ ｒ − Ｆ Ｒ
ｖ＝Ｒω
円盤の慣性モーメント
Ｉ ＝ １
――
２		 Ｍ Ｒ
2


３．コマの歳差運動

回転の運動方程式
Ｉ ｄω
――
ｄｔ		 ＝ Ｎ
外力のモーメント Ｎ＝ｌ×Ｍｇ
角運動量 Ｎｄｔ＝Ｉω sinθ・Ωｄｔ
重力によるモーメント Ｎ＝ｌＭｇsinθ
歳差運動の角速度
Ω ＝ Ｍｇｌ
―――
Ｉω
コマの傾きθとは関係なし
コマの自転ωが速ければ速いほど、歳差運動はゆっくり

三．回転軸のない剛体の運動

慣性主軸

主慣性モーメント

オイラーの方程式

座標と速度 運動の法則 運動の具体例 エネルギー 角運動量 惑星の運動 質点の運動 剛体の運動 剛体の回転