力学（様々な運動）1/11

一．鉛直運動　　　１．自由落下

運動方程式	Ｆ ＝ − ｍ ｇ ＝ ｍ ｄ 2 ｘ ―― ｄ ｔ 2	等加速度運動	ｆ0＝ｍｇ ｖ＝ｇｔ ｈ ＝ １ ― ２ ｇ ｔ 2 ｔ 2 ＝ ２ｈ ― ｇ
微分方程式	ｄ 2 ｘ ―― ｄ ｔ 2 ＝ − ｇ	ｖ（ｔ） ＝ ｇ ｔ ＋ ｖ0 ｘ（ｔ） ＝ １ ― ２ ｇ ｔ 2 ＋ ｖ ｔ ＋ ｈ

Ｌ

＝

Ｔ

−

Ｕ

＝

１ ― ２

ｍ

2

−

ｍ

ｇ

ｘ

Ｈ

＝

Ｔ

＋

Ｕ

＝

ｐ 2 ―― ２ｍ

−

ｍ

ｇ

ｑ

ラグラクジアン	Ｌ ＝ Ｔ − Ｕ ＝ １ ― ２ ｍ 2 − ｍ ｇ ｘ
∂Ｌ ――― ∂ ＝ ∂ ―― ∂ （ １ ― ２ ｍ 2 − ｍ ｇ ｘ ） ＝ １ ― ２ ｍ ・ ２ ＝ ｍ 微分する 定数は消える
∂Ｌ ――― ∂ｘ ＝ ∂ ―― ∂ｘ （ １ ― ２ ｍ 2 − ｍ ｇ ｘ ） ＝ − ｍ ｇ ・ １ ＝ − ｍ ｇ 定数は消える 微分する
ラグランジュ方程式	ｄ ―― ｄｔ ∂ Ｌ ――― ∂ − ∂Ｌ ―― ∂ｘ ＝ ０
ｄ ―― ｄｔ （ ｍ ） ＋ ｍ ｇ ＝ ０	ｍ ＝ − ｍ ｇ

---

ハミルトニアン	Ｈ ＝ Ｔ ＋ Ｕ ＝ ｐ 2 ―― ２ｍ − ｍ ｇ ｑ
∂Ｈ ―― ∂ｐ ＝ ∂ ―― ∂ｐ （ ｐ 2 ―― ２ｍ ＋ ｍ ｇ ｑ ） ＝ ｐ ― ｍ 微分する 定数は消える
∂Ｈ ―― ∂ｑ ＝ ∂ ―― ∂ｑ （ ｐ 2 ―― ２ｍ ＋ ｍ ｇ ｑ ） ＝ ｍ ｇ 定数は消える 微分する
ハミルトン方程式	ｄ ｑ ―― ｄ ｔ ＝ ∂Ｈ ――― ∂ｐ	ｄ ｐ ―― ｄ ｔ ＝ − ∂Ｈ ―― ∂ｑ
	ｄ ｑ ―― ｄ ｔ ＝ ｐ ― ｍ	ｄ ｐ ―― ｄ ｔ ＝ − ｍ ｇ
	ｐ ＝ ｍ ｄ ｑ ―― ｄ ｔ	ｍ ｄ 2 ｑ ――― ｄ ｔ 2 ＝ − ｍ ｇ

２．投げ挙げ

３．空気抵抗

二．放物運動

初期の速度ベクトル	→ ｖ0 ＝ ｖ0 cosθ ｖ0 sinθ
速度ベクトル	→ ｖ ＝ ｖ0 cosθ −ｇｔ＋ｖ0 sinθ
位置ベクトル	→ ｒ ＝ （ｖ0 cosθ）ｔ − １ ― ２ ｇ ｔ 2 ＋ （ｖ0 sinθ）ｔ

Ｌ

＝

Ｔ

−

Ｕ

＝

１ ― ２

ｍ

ｖ

2

−

ｍ

ｇ

ｙ

＝

１ ― ２

ｍ

（ｘ’）

2

＋

１ ― ２

ｍ

（ｙ’）

2

−

ｍ

ｇ

ｙ

ラグラクジアン

Ｌ ＝ Ｔ − Ｕ ＝ １ ― ２ ｍ 2 ＋ ｍ ｇ ｘ

ラグランジュ方程式

ｄ ―― ｄｔ ∂ Ｌ ――― ∂ − ∂Ｌ ―― ∂ｘ ＝ ０

∂Ｌ ――― ∂ ＝ ∂ ―― ∂ （ １ ― ２ ｍ 2 ＋ ｍ ｇ ｘ ） ＝ １ ― ２ ｍ ・ ２ ＝ ｍ

∂Ｌ ――― ∂ｘ ＝ ∂ ―― ∂ｘ （ １ ― ２ ｍ 2 ＋ ｍ ｇ ｘ ） ＝ ｍ ｇ ・ １ ＝ ｍ ｇ

ｄ ―― ｄｔ （ ｍ ） − ｍ ｇ ＝ ０

ｍ ＝ ｍ ｇ

三．斜面をすべる質点

	滑らかな斜面　Ｆ ＝ ｍａ ＝ ｍｇ sinθ	等加速度　ａ ＝ ｍｇ sinθ
斜面に平行な成分	Ｆ ＝ ｍｇ sinθ
斜面に垂直な成分	Ｎ ＝ ｍｇ cosθ
	摩擦力 ＝ μ’Ｎ ＝ μ’ ｍｇ cosθ

Ｌ

＝

Ｔ

−

Ｕ

＝

１ ― ２

ｍ

2

＋

ｍ

ｇ

ｘ

sinθ

Ｈ

＝

Ｔ

＋

Ｕ

＝

ｐ 2 ―― ２ｍ

−

ｍ

ｇ

ｑ